加权线性回归(Weighted Linear Regression)的公式及其推理
1.加权线性回归与普通线性回归
对于一组有N个观测的数据
$$(x_i,y_i), i = 1,2,3,4,…, N$$
可以使用一元线性回归模型
$$y = a x + b + \epsilon$$
来拟合 \(x\) 与 \(y\) 之间的关系。其中的参数 \(a,b\) 通常使用最小二乘拟合，即寻找使代价函数
$$J(a,b) = \frac{1}{N}\sum^{N}_{i=1}{(y_i-ax_i-b)^2}$$
最小的\(a,b\)，使得拟合曲线尽可能地接近所有的观测点。
但在实际应用中，观测点之间可能是有差异的。比如，有的观测点误差大，有的观测点误差小，这就需要让我们的拟合直线\(y=ax+b\)，不必考虑误差大的观测点，而要尽可能逼近误差小的观测点。这时就可以使用一个权重系数\(w_i\)来表示第\(i\)个观测点的权重（例如，对于误差小的观测点，\(w_i\)的值更大） 而考虑了这个权重系数\(w_i\)的线性回归，就是加权线性回归。